ملخص شامل للمتتاليات العددية BAC 2026 PDF | حسابية + هندسية + نهايات + تمارين محلولة
ملخص شامل للمتتاليات العددية - رياضيات بكالوريا 2026
مقدمة: المتتاليات - لغة الرياضيات في دراسة التطور
المتتاليات العددية من أهم المحاور في برنامج الرياضيات للبكالوريا، فهي تُستخدم في دراسة الظواهر المتطورة بمرور الزمن، كالنمو السكاني، الفوائد البنكية، تطور الأمراض، والعديد من التطبيقات العملية. في هذا الدليل الشامل، نقدم لك كل ما تحتاجه لإتقان هذا المحور الحيوي.
الفصل الأول: تعاريف وأساسيات
1. تعريف المتتالية العددية
المتتالية العددية هي تطبيق من مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ (أو جزء منها) إلى مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ.
الصيغة الرياضية:
u: ℕ → ℝ
n ↦ uₙ
التفسير: لكل عدد طبيعي n، نربط عدداً حقيقياً uₙ يُسمى الحد العام أو الحد ذو الرتبة n.
طرق تعريف المتتالية:
أ) الصيغة الصريحة (التعبير المباشر)
حيث نُعطي uₙ مباشرة بدلالة n.
مثال:
- uₙ = 2n + 3
- uₙ = n² - 1
- uₙ = 1/n
ب) صيغة التدرج (العلاقة التراجعية)
حيث نُعطي u₀ (أو u₁) وعلاقة تربط بين uₙ₊₁ و uₙ.
مثال:
u₀ = 2
uₙ₊₁ = 2uₙ + 3
2. طرق تمثيل المتتالية
أ) التمثيل البياني
- نضع النقاط (n, uₙ) في معلم متعامد
- المتتالية مجموعة من النقاط المنفصلة (ليس منحنى)
ب) الجدول
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| uₙ | u₀ | u₁ | u₂ | u₃ | u₄ |
3. اتجاه تغير المتتالية (رتابة المتتالية)
المتتالية المتزايدة
تعريف: (uₙ) متزايدة إذا كان: uₙ₊₁ ≥ uₙ لكل n
تعريف بديل: (uₙ) متزايدة إذا كان: uₙ₊₁ - uₙ ≥ 0 لكل n
تعريف آخر (إذا كان uₙ > 0): (uₙ) متزايدة إذا كان: uₙ₊₁/uₙ ≥ 1 لكل n
المتتالية المتزايدة تماماً
uₙ₊₁ > uₙ لكل n (عدم المساواة صارم)
المتتالية المتناقصة
تعريف: (uₙ) متناقصة إذا كان: uₙ₊₁ ≤ uₙ لكل n
تعريف بديل: (uₙ) متناقصة إذا كان: uₙ₊₁ - uₙ ≤ 0 لكل n
تعريف آخر (إذا كان uₙ > 0): (uₙ) متناقصة إذا كان: uₙ₊₁/uₙ ≤ 1 لكل n
المتتالية الثابتة
uₙ₊₁ = uₙ لكل n، أي جميع الحدود متساوية.
المتتالية الرتيبة
متتالية إما متزايدة أو متناقصة.
4. المتتاليات المحدودة
المتتالية محدودة من الأعلى
توجد M ∈ ℝ بحيث: uₙ ≤ M لكل n ∈ ℕ
M يُسمى حد أعلى للمتتالية.
المتتالية محدودة من الأسفل
توجد m ∈ ℝ بحيث: uₙ ≥ m لكل n ∈ ℕ
m يُسمى حد أسفل للمتتالية.
المتتالية المحدودة
محدودة من الأعلى والأسفل معاً، أي: ∃M > 0 : |uₙ| ≤ M لكل n
خاصية مهمة: كل متتالية متقاربة هي محدودة.
الفصل الثاني: المتتاليات الحسابية
1. تعريف المتتالية الحسابية
المتتالية الحسابية هي متتالية يكون فيها الفرق بين حدين متتاليين ثابتاً.
التعريف الرياضي:
uₙ₊₁ = uₙ + r
حيث r يُسمى أساس المتتالية (raison).
مثال:
u₀ = 3, r = 2
u₁ = 3 + 2 = 5
u₂ = 5 + 2 = 7
u₃ = 7 + 2 = 9
المتتالية: 3, 5, 7, 9, 11, ...
2. الحد العام للمتتالية الحسابية
إذا كان الحد الأول u₀:
uₙ = u₀ + nr
إذا كان الحد الأول u₁:
uₙ = u₁ + (n-1)r
بصفة عامة (الانتقال من حد إلى آخر):
uₙ = uₚ + (n-p)r
مثال: إذا كان u₀ = 5 و r = 3، أوجد u₁₀
u₁₀ = u₀ + 10r = 5 + 10(3) = 5 + 30 = 35
3. اتجاه تغير المتتالية الحسابية
- إذا كان r > 0: المتتالية متزايدة تماماً
- إذا كان r < 0: المتتالية متناقصة تماماً
- إذا كان r = 0: المتتالية ثابتة
4. مجموع حدود متتالية حسابية
مجموع n+1 حد الأولى (من u₀ إلى uₙ):
Sₙ = u₀ + u₁ + u₂ + ... + uₙ
Sₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2
أو: Sₙ = (n+1) × (الحد الأول + الحد الأخير)/2
مجموع n حد متتالية (من u₁ إلى uₙ):
Sₙ = n × (u₁ + uₙ)/2
صيغة أخرى:
Sₙ = (عدد الحدود) × (الحد الأول + الحد الأخير)/2
مثال: احسب مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100
S = 1 + 2 + 3 + ... + 100
S = 100 × (1 + 100)/2 = 100 × 101/2 = 5050
5. خواص المتتاليات الحسابية
الخاصية 1: الوسط الحسابي
إذا كانت (uₙ) حسابية، فإن:
uₙ = (uₙ₋₁ + uₙ₊₁)/2
أي أن كل حد هو الوسط الحسابي للحدين المجاورين له.
الخاصية 2: الفرق الثابت
uₙ₊₁ - uₙ = r (ثابت)
الخاصية 3
ثلاثة أعداد a, b, c متتالية في متتالية حسابية إذا وفقط إذا:
b = (a + c)/2
أو: 2b = a + c
الفصل الثالث: المتتاليات الهندسية
1. تعريف المتتالية الهندسية
المتتالية الهندسية هي متتالية يكون فيها النسبة بين حدين متتاليين ثابتة.
التعريف الرياضي:
uₙ₊₁ = q × uₙ
حيث q يُسمى أساس المتتالية (raison)، و q ≠ 0
مثال:
u₀ = 2, q = 3
u₁ = 2 × 3 = 6
u₂ = 6 × 3 = 18
u₃ = 18 × 3 = 54
المتتالية: 2, 6, 18, 54, 162, ...
2. الحد العام للمتتالية الهندسية
إذا كان الحد الأول u₀:
uₙ = u₀ × qⁿ
إذا كان الحد الأول u₁:
uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹
بصفة عامة:
uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ
مثال: إذا كان u₀ = 3 و q = 2، أوجد u₅
u₅ = u₀ × q⁵ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96
3. اتجاه تغير المتتالية الهندسية
الحالة 1: إذا كان u₀ > 0
- إذا كان q > 1: المتتالية متزايدة تماماً
- إذا كان 0 < q < 1: المتتالية متناقصة تماماً
- إذا كان q = 1: المتتالية ثابتة
الحالة 2: إذا كان u₀ < 0
- إذا كان q > 1: المتتالية متناقصة تماماً
- إذا كان 0 < q < 1: المتتالية متزايدة تماماً
حالة خاصة: إذا كان q < 0، المتتالية ليست رتيبة (تتذبذب بين القيم الموجبة والسالبة)
4. مجموع حدود متتالية هندسية
إذا كان q ≠ 1
مجموع n+1 حد الأولى (من u₀ إلى uₙ):
Sₙ = u₀ + u₁ + u₂ + ... + uₙ
Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)
أو: Sₙ = u₀ × (qⁿ⁺¹ - 1)/(q - 1)
الشكل الثاني (للحد الأول u₁):
Sₙ = u₁ × (1 - qⁿ)/(1 - q)
صيغة عامة مفيدة:
مجموع من uₚ إلى uₙ = uₚ × (1 - qⁿ⁻ᵖ⁺¹)/(1 - q)
إذا كان q = 1
Sₙ = (n+1) × u₀
مثال: احسب مجموع 2 + 6 + 18 + 54 + 162
u₀ = 2, q = 3, n = 4 (5 حدود)
S₄ = 2 × (1 - 3⁵)/(1 - 3)
S₄ = 2 × (1 - 243)/(-2)
S₄ = 2 × (-242)/(-2) = 242
5. خواص المتتاليات الهندسية
الخاصية 1: الوسط الهندسي
إذا كانت (uₙ) هندسية بحدود موجبة، فإن:
uₙ² = uₙ₋₁ × uₙ₊₁
أو: uₙ = √(uₙ₋₁ × uₙ₊₁)
الخاصية 2: النسبة الثابتة
uₙ₊₁/uₙ = q (ثابت)
الخاصية 3
ثلاثة أعداد موجبة a, b, c متتالية في متتالية هندسية إذا وفقط إذا:
b² = a × c
أو: b = √(a × c)
الفصل الرابع: نهاية المتتالية
1. تعريف النهاية
المتتالية المتقاربة نحو عدد ℓ
نقول أن (uₙ) تتقارب نحو ℓ إذا كان:
lim(n→+∞) uₙ = ℓ
بلغة بسيطة: مهما اخترنا فترة صغيرة حول ℓ، فإن جميع حدود المتتالية (ابتداءً من رتبة معينة) تكون داخل هذه الفترة.
المتتالية المتباعدة نحو +∞
lim(n→+∞) uₙ = +∞
الحدود تكبر بلا حدود.
المتتالية المتباعدة نحو -∞
lim(n→+∞) uₙ = -∞
الحدود تصغر (تصبح سالبة كبيرة) بلا حدود.
2. نهايات مرجعية مهمة
lim(n→+∞) n = +∞
lim(n→+∞) n² = +∞
lim(n→+∞) nᵖ = +∞ (لكل p > 0)
lim(n→+∞) √n = +∞
lim(n→+∞) 1/n = 0
lim(n→+∞) 1/n² = 0
lim(n→+∞) 1/nᵖ = 0 (لكل p > 0)
3. نهاية المتتاليات الهندسية
إذا كان q > 1
lim(n→+∞) qⁿ = +∞
إذا كان q = 1
lim(n→+∞) qⁿ = 1
إذا كان -1 < q < 1
lim(n→+∞) qⁿ = 0
إذا كان q ≤ -1
النهاية غير موجودة (المتتالية متذبذبة).
خاصة:
- إذا كان q = -1: المتتالية qⁿ تأخذ القيم 1, -1, 1, -1, ...
4. عمليات على النهايات
الجمع
| lim uₙ | lim vₙ | lim (uₙ + vₙ) |
|---|---|---|
| ℓ | ℓ' | ℓ + ℓ' |
| ℓ | +∞ | +∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ |
| +∞ | -∞ | شكل غير محدد |
الضرب
| lim uₙ | lim vₙ | lim (uₙ × vₙ) |
|---|---|---|
| ℓ | ℓ' | ℓ × ℓ' |
| ℓ > 0 | +∞ | +∞ |
| ℓ < 0 | +∞ | -∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ |
| 0 | +∞ | شكل غير محدد |
القسمة
| lim uₙ | lim vₙ | lim (uₙ/vₙ) |
|---|---|---|
| ℓ | ℓ' ≠ 0 | ℓ/ℓ' |
| ℓ | +∞ | 0 |
| +∞ | ℓ ≠ 0 | +∞ (أو -∞) |
| +∞ | +∞ | شكل غير محدد |
| 0 | 0 | شكل غير محدد |
5. الأشكال غير المحددة
الأشكال غير المحددة الشائعة:
- +∞ - ∞
- 0 × ∞
- ∞/∞
- 0/0
الحل: يجب التحويل والتبسيط لرفع الإبهام.
6. مبرهنات مهمة
مبرهنة الحصر (مبرهنة الشطيرة)
إذا كان:
vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ
lim vₙ = lim wₙ = ℓ
فإن:
lim uₙ = ℓ
مبرهنة المقارنة
- إذا كان uₙ ≤ vₙ و lim uₙ = +∞، فإن lim vₙ = +∞
- إذا كان uₙ ≥ vₙ و lim uₙ = -∞، فإن lim vₙ = -∞
خاصية مهمة
- إذا كان lim |uₙ| = 0، فإن lim uₙ = 0
- إذا كان |uₙ| ≤ vₙ و lim vₙ = 0، فإن lim uₙ = 0
الفصل الخامس: المتتاليات المتجاورة
1. تعريف المتتاليتين المتجاورتين
متتاليتان (uₙ) و (vₙ) متجاورتان إذا تحققت الشروط الثلاثة:
- (uₙ) متزايدة و (vₙ) متناقصة
- uₙ ≤ vₙ لكل n
- lim(vₙ - uₙ) = 0
2. مبرهنة المتتاليات المتجاورة
إذا كانت (uₙ) و (vₙ) متجاورتين، فإن:
- كلتاهما متقاربتان
- لهما نفس النهاية: lim uₙ = lim vₙ = ℓ
- uₙ ≤ ℓ ≤ vₙ لكل n
التطبيق: تستخدم لإيجاد قيم مقربة لعدد غير نسبي (مثل √2, π, e).
الفصل السادس: الاستدلال بالتراجع (البرهان بالتراجع)
مبدأ الاستدلال بالتراجع
لإثبات خاصية P(n) صحيحة لكل n ≥ n₀، نتبع الخطوات:
الخطوة 1: التحقق من الأساس (Initialisation)
نثبت أن P(n₀) صحيحة.
الخطوة 2: فرضية التراجع (Hypothèse de récurrence)
نفترض أن P(n) صحيحة لعدد طبيعي n ≥ n₀ (نسميها فرضية التراجع).
الخطوة 3: الخطوة التراجعية (Hérédité)
نثبت أنه إذا كانت P(n) صحيحة، فإن P(n+1) صحيحة أيضاً.
الاستنتاج
بمبدأ الاستدلال بالتراجع، P(n) صحيحة لكل n ≥ n₀.
مثال تطبيقي
إثبات: لكل n ∈ ℕ، 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
الحل:
خطوة 1: التحقق من n = 0
طرف أيسر = 0
طرف أيمن = 0(0+1)/2 = 0
الخاصية صحيحة لـ n = 0 ✓
خطوة 2: فرضية التراجع نفترض أن الخاصية صحيحة للرتبة n، أي:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
خطوة 3: إثبات للرتبة n+1
1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1)
= [1 + 2 + 3 + ... + n] + (n+1)
= n(n+1)/2 + (n+1) (حسب فرضية التراجع)
= (n+1)[n/2 + 1]
= (n+1)(n+2)/2
= (n+1)[(n+1)+1]/2
وهذا يساوي الصيغة للرتبة n+1 ✓
الاستنتاج: الخاصية صحيحة لكل n ∈ ℕ.
الفصل السابع: حل المسائل والتمارين النموذجية
النموذج 1: دراسة متتالية معرفة بعلاقة تراجعية خطية
المسألة: لتكن (uₙ) متتالية معرفة بـ:
u₀ = 1
uₙ₊₁ = 2uₙ + 3
المطلوب:
- احسب u₁, u₂, u₃
- حدد اتجاه تغير المتتالية
- استنتج أن المتتالية غير محدودة
- احسب نهاية المتتالية
الحل:
1. حساب الحدود الأولى:
u₀ = 1
u₁ = 2(1) + 3 = 5
u₂ = 2(5) + 3 = 13
u₃ = 2(13) + 3 = 29
2. اتجاه التغير:
uₙ₊₁ - uₙ = (2uₙ + 3) - uₙ = uₙ + 3
بما أن u₀ = 1 > 0، وبالتراجع نثبت أن uₙ > 0 لكل n
إذن: uₙ₊₁ - uₙ = uₙ + 3 > 3 > 0
المتتالية متزايدة تماماً ✓
3. المتتالية غير محدودة: بما أن المتتالية متزايدة و uₙ₊₁ - uₙ ≥ 3، فإن المتتالية تزداد بما لا يقل عن 3 في كل خطوة، لذا هي غير محدودة.
4. النهاية:
lim uₙ = +∞
النموذج 2: إيجاد صيغة صريحة من علاقة تراجعية
المسألة: لتكن (uₙ) معرفة بـ:
u₀ = 2
uₙ₊₁ = 3uₙ - 4
أوجد تعبيراً صريحاً لـ uₙ.
الحل:
نبحث عن α بحيث المتتالية (vₙ) المعرفة بـ vₙ = uₙ - α هندسية.
vₙ₊₁ = uₙ₊₁ - α = (3uₙ - 4) - α = 3uₙ - α - 4
vₙ₊₁ = 3(uₙ - α) + 3α - α - 4 = 3vₙ + 2α - 4
لتكون (vₙ) هندسية يجب: 2α - 4 = 0
إذن: α = 2
إذن المتتالية (vₙ) المعرفة بـ vₙ = uₙ - 2 هندسية بأساس q = 3:
v₀ = u₀ - 2 = 2 - 2 = 0
vₙ = v₀ × 3ⁿ = 0
إذن: uₙ = vₙ + 2 = 2
هذا خطأ! لنعد الحساب...
إعادة الحساب:
uₙ₊₁ - α = 3(uₙ - α)
uₙ₊₁ - α = 3uₙ - 3α
3uₙ - 4 - α = 3uₙ - 3α
-4 - α = -3α
-4 = -2α
α = 2 ✓
vₙ = uₙ - 2
v₀ = u₀ - 2 = 2 - 2 = 0
vₙ₊₁ = uₙ₊₁ - 2 = (3uₙ - 4) - 2 = 3uₙ - 6 = 3(uₙ - 2) = 3vₙ
(vₙ) هندسية بأساس 3
vₙ = v₀ × 3ⁿ = 0 × 3ⁿ = 0
إذن: uₙ = vₙ + 2 = 0 + 2 = 2 لكل n
تحقق: لو كان uₙ = 2، فإن uₙ₊₁ = 3(2) - 4 = 2 ✓
النموذج 3: دراسة متتالية بواسطة متتالية مساعدة
المسألة: لتكن (uₙ) معرفة بـ:
u₀ = 1
uₙ₊₁ = uₙ/(2uₙ + 1)
المطلوب: ادرس اتجاه تغير وتقارب المتتالية.
الحل:
طريقة المتتالية المساعدة:
نضع vₙ = 1/uₙ (بشرط أن uₙ ≠ 0)
vₙ₊₁ = 1/uₙ₊₁ = 1/(uₙ/(2uₙ + 1))
vₙ₊₁ = (2uₙ + 1)/uₙ = 2 + 1/uₙ
vₙ₊₁ = 2 + vₙ
إذن (vₙ) حسابية بأساس r = 2:
v₀ = 1/u₀ = 1/1 = 1
vₙ = v₀ + nr = 1 + 2n
إذن: uₙ = 1/vₙ = 1/(1 + 2n)
اتجاه التغير:
uₙ₊₁ - uₙ = 1/(1 + 2(n+1)) - 1/(1 + 2n)
= 1/(3 + 2n) - 1/(1 + 2n)
= [(1 + 2n) - (3 + 2n)]/[(3 + 2n)(1 + 2n)]
= -2/[(3 + 2n)(1 + 2n)] < 0
المتتالية متناقصة تماماً ✓
النهاية:
lim uₙ = lim 1/(1 + 2n) = 0
المتتالية متقاربة نحو 0 ✓
النموذج 4: مجموع متتالية
المسألة: احسب المجموع:
S = 1 + 3 + 9 + 27 + ... + 3⁹
الحل:
هذه متتالية هندسية:
- u₀ = 1
- q = 3
- عدد الحدود: 10 حدود (من 3⁰ إلى 3⁹)
S = u₀ × (1 - q¹⁰)/(1 - q)
S = 1 × (1 - 3¹⁰)/(1 - 3)
S = (1 - 59049)/(-2)
S = -59048/(-2)
S = 29524
النموذج 5: حل معادلة تحتوي على متتالية
المسألة: حل المعادلة:
1 + 2 + 3 + ... + n = 210
الحل:
نعلم أن مجموع الأعداد الطبيعية:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
إذن: n(n+1)/2 = 210
n(n+1) = 420
n² + n - 420 = 0
باستخدام القانون العام:
Δ = 1 + 4(420) = 1 + 1680 = 1681 = 41²
n = (-1 ± 41)/2
n₁ = (-1 + 41)/2 = 40/2 = 20 ✓
n₂ = (-1 - 41)/2 = -42/2 = -21 (مرفوض)
الحل: n = 20
النموذج 6: إثبات باستخدام التراجع
المسألة: أثبت أن لكل n ≥ 1:
1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
الحل:
التحقق من n = 1:
طرف أيسر = 1² = 1
طرف أيمن = 1(1+1)(2×1+1)/6 = 1×2×3/6 = 1 ✓
فرضية التراجع: نفترض الخاصية صحيحة للرتبة n:
1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
إثبات للرتبة n+1:
1² + 2² + ... + n² + (n+1)²
= n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)²
= (n+1)[n(2n+1)/6 + (n+1)]
= (n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]/6
= (n+1)[2n² + n + 6n + 6]/6
= (n+1)[2n² + 7n + 6]/6
= (n+1)(n+2)(2n+3)/6
= (n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]/6 ✓
الاستنتاج: الخاصية صحيحة لكل n ≥ 1.
الفصل الثامن: المتتاليات من النوع uₙ₊₁ = f(uₙ)
1. دراسة المتتالية
عندما تُعرف متتالية بالشكل:
u₀ معطى
uₙ₊₁ = f(uₙ)
2. اتجاه التغير
الطريقة 1: دراسة إشارة uₙ₊₁ - uₙ = f(uₙ) - uₙ
الطريقة 2: إذا كانت f متزايدة:
- إذا كان u₁ ≥ u₀، فالمتتالية متزايدة
- إذا كان u₁ ≤ u₀، فالمتتالية متناقصة
الطريقة 3: استخدام دالة مساعدة g(x) = f(x) - x
- إذا كان g(x) ≥ 0 على مجال المتتالية، فهي متزايدة
- إذا كان g(x) ≤ 0 على مجال المتتالية، فهي متناقصة
3. النقاط الثابتة
النقطة الثابتة α هي حل المعادلة: f(α) = α
خاصية: إذا كانت المتتالية متقاربة نحو ℓ، وكانت f مستمرة عند ℓ، فإن:
ℓ = f(ℓ)
أي أن النهاية هي نقطة ثابتة للدالة f.
4. مثال تطبيقي
المسألة: لتكن (uₙ) معرفة بـ:
u₀ = 1
uₙ₊₁ = √(2 + uₙ)
ادرس تقارب المتتالية.
الحل:
الخطوة 1: نثبت أن جميع حدود المتتالية موجودة ومحددة:
- u₀ = 1 > 0
- إذا كان uₙ > 0، فإن uₙ₊₁ = √(2 + uₙ) > 0 (بالتراجع)
الخطوة 2: نثبت أن المتتالية محدودة من الأعلى: نثبت بالتراجع أن uₙ ≤ 2:
- u₀ = 1 ≤ 2 ✓
- نفترض uₙ ≤ 2
- uₙ₊₁ = √(2 + uₙ) ≤ √(2 + 2) = √4 = 2 ✓
الخطوة 3: اتجاه التغير:
uₙ₊₁² = 2 + uₙ
uₙ₊₁² - uₙ² = 2 + uₙ - uₙ² = -(uₙ² - uₙ - 2)
= -(uₙ - 2)(uₙ + 1)
بما أن 0 < uₙ ≤ 2:
uₙ - 2 ≤ 0 و uₙ + 1 > 0
إذن: uₙ₊₁² - uₙ² ≥ 0
بما أن جميع الحدود موجبة:
uₙ₊₁² ≥ uₙ² ⟹ uₙ₊₁ ≥ uₙ
المتتالية متزايدة ✓
الخطوة 4: التقارب: المتتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى، إذن هي متقاربة.
الخطوة 5: حساب النهاية: لتكن ℓ النهاية، بتمرير النهاية في العلاقة:
lim uₙ₊₁ = lim √(2 + uₙ)
ℓ = √(2 + ℓ)
ℓ² = 2 + ℓ
ℓ² - ℓ - 2 = 0
(ℓ - 2)(ℓ + 1) = 0
ℓ = 2 أو ℓ = -1
بما أن جميع حدود المتتالية موجبة، فإن:
lim uₙ = 2
الفصل التاسع: نصائح ومنهجية حل التمارين
منهجية دراسة متتالية
الخطوة 1: تحديد نوع المتتالية
- هل هي حسابية؟ (الفرق ثابت)
- هل هي هندسية؟ (النسبة ثابتة)
- هل هي من النوع uₙ₊₁ = f(uₙ)؟
الخطوة 2: حساب الحدود الأولى
احسب u₀, u₁, u₂, u₃ للتعرف على سلوك المتتالية.
الخطوة 3: دراسة اتجاه التغير (الرتابة)
- احسب uₙ₊₁ - uₙ وادرس إشارته
- أو احسب uₙ₊₁/uₙ (إذا كانت الحدود موجبة)
- أو استخدم دالة مساعدة
الخطوة 4: دراسة المحدودية
- هل المتتالية محدودة من الأعلى؟
- هل هي محدودة من الأسفل؟
- إذا كانت رتيبة ومحدودة، فهي متقاربة
الخطوة 5: حساب النهاية
- استخدم النهايات المرجعية
- استخدم مبرهنات الحصر والمقارنة
- إذا كانت من النوع uₙ₊₁ = f(uₙ)، حل المعادلة f(ℓ) = ℓ
أخطاء شائعة يجب تجنبها
الخطأ 1: الخلط بين المتتالية الحسابية والهندسية
- حسابية: uₙ₊₁ - uₙ = r (الفرق ثابت)
- هندسية: uₙ₊₁/uₙ = q (النسبة ثابتة)
الخطأ 2: نسيان الشروط
- عند دراسة uₙ₊₁/uₙ، تأكد أن uₙ ≠ 0
- عند استخدام الجذر، تأكد أن التعبير داخله موجب
الخطأ 3: الخلط في صيغ المجموع
- متتالية حسابية: Sₙ = (n+1)(u₀ + uₙ)/2
- متتالية هندسية: Sₙ = u₀(1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)
الخطأ 4: عدم التحقق من شروط التقارب
قبل القول أن متتالية متقاربة:
- تحقق أنها رتيبة
- تحقق أنها محدودة
الخطأ 5: الخطأ في الاستدلال بالتراجع
يجب إتمام الخطوات الثلاث:
- التحقق من الأساس
- فرضية التراجع
- إثبات الانتقال من n إلى n+1
نصائح للامتحان
قبل الامتحان
- راجع الصيغ الأساسية واحفظها جيداً
- تدرب على أنواع مختلفة من المتتاليات
- حل نماذج الامتحانات السابقة
- راجع الأخطاء التي وقعت فيها سابقاً
أثناء الامتحان
- اقرأ السؤال بعناية وحدد المطلوب بدقة
- ابدأ بحساب الحدود الأولى دائماً
- نظّم إجابتك: اكتب خطوة خطوة
- استخدم الترميز الصحيح: uₙ, uₙ₊₁, Sₙ
- تحقق من النتائج إن أمكن
- لا تترك سؤالاً فارغاً: حاول دائماً
بعد الامتحان
- راجع حلولك إن سمح الوقت
- تأكد من الحسابات
- تحقق من الإجابات المنطقية
الفصل العاشر: تمارين إضافية للتدريب
تمرين 1: متتالية حسابية
المعطيات: (uₙ) متتالية حسابية، u₃ = 7 و u₇ = 15
المطلوب:
- أوجد الحد الأول u₀ والأساس r
- اكتب uₙ بدلالة n
- احسب u₂₀
- احسب S = u₀ + u₁ + ... + u₂₀
الحل:
1. إيجاد u₀ و r:
u₃ = u₀ + 3r = 7 ... (1)
u₇ = u₀ + 7r = 15 ... (2)
من (2) - (1):
4r = 8 ⟹ r = 2
من (1): u₀ + 3(2) = 7 ⟹ u₀ = 1
2. الحد العام:
uₙ = u₀ + nr = 1 + 2n
3. الحد u₂₀:
u₂₀ = 1 + 2(20) = 1 + 40 = 41
4. المجموع:
S₂₀ = 21 × (u₀ + u₂₀)/2
= 21 × (1 + 41)/2
= 21 × 42/2
= 21 × 21
= 441
تمرين 2: متتالية هندسية
المعطيات: (uₙ) متتالية هندسية، u₁ = 6 و u₄ = 162
المطلوب:
- أوجد الأساس q
- أوجد u₀
- اكتب uₙ بدلالة n
- احسب S = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + u₄
الحل:
1. إيجاد q:
u₄ = u₁ × q³
162 = 6 × q³
q³ = 27
q = 3
2. إيجاد u₀:
u₁ = u₀ × q
6 = u₀ × 3
u₀ = 2
3. الحد العام:
uₙ = u₀ × qⁿ = 2 × 3ⁿ
4. المجموع:
S₄ = u₀ × (1 - q⁵)/(1 - q)
= 2 × (1 - 3⁵)/(1 - 3)
= 2 × (1 - 243)/(-2)
= 2 × (-242)/(-2)
= 242
تمرين 3: دراسة نهاية
أوجد نهاية المتتالية (uₙ) حيث:
uₙ = (3n² + 2n - 1)/(n² + 5)
الحل:
uₙ = (3n² + 2n - 1)/(n² + 5)
= n²(3 + 2/n - 1/n²) / n²(1 + 5/n²)
= (3 + 2/n - 1/n²) / (1 + 5/n²)
عند n → +∞:
- 2/n → 0
- 1/n² → 0
- 5/n² → 0
lim uₙ = (3 + 0 - 0)/(1 + 0) = 3/1 = 3
تمرين 4: إثبات بالتراجع
أثبت بالتراجع أن لكل n ≥ 1:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
الحل:
التحقق من n = 1:
طرف أيسر = 2(1) - 1 = 1
طرف أيمن = 1² = 1 ✓
فرضية التراجع: نفترض:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
إثبات للرتبة n+1:
1 + 3 + ... + (2n-1) + (2(n+1)-1)
= n² + (2n+1)
= n² + 2n + 1
= (n+1)² ✓
الاستنتاج: الخاصية صحيحة لكل n ≥ 1.
الخلاصة: جدول المراجعة السريعة
المتتاليات الحسابية
| العنصر | الصيغة |
|---|---|
| العلاقة التراجعية | uₙ₊₁ = uₙ + r |
| الحد العام | uₙ = u₀ + nr |
| المجموع | Sₙ = (n+1)(u₀ + uₙ)/2 |
| الرتابة | r > 0 ⟹ متزايدة<br>r < 0 ⟹ متناقصة |
المتتاليات الهندسية
| العنصر | الصيغة |
|---|---|
| العلاقة التراجعية | uₙ₊₁ = q × uₙ |
| الحد العام | uₙ = u₀ × qⁿ |
| المجموع (q ≠ 1) | Sₙ = u₀(1-qⁿ⁺¹)/(1-q) |
| النهاية | q > 1 ⟹ +∞<br>|q| < 1 ⟹ 0 |
النهايات المرجعية
lim n = +∞
lim nᵖ = +∞ (p > 0)
lim 1/n = 0
lim 1/nᵖ = 0 (p > 0)
lim qⁿ = 0 (|q| < 1)
lim qⁿ = +∞ (q > 1)
خاتمة: طريقك للتفوق في المتتاليات
المتتاليات العددية محور أساسي في الرياضيات، وإتقانها يتطلب:
- الفهم العميق للمفاهيم وليس الحفظ الأعمى
- التدريب المستمر على حل التمارين المتنوعة
- المراجعة المنتظمة للصيغ والقوانين
- التطبيق العملي على نماذج الامتحانات السابقة
تذكر أن النجاح يأتي بالمثابرة والصبر. لا تيأس من التمارين الصعبة، بل اعتبرها فرصة للتعلم والتطور.
نصيحة أخيرة: اصنع لنفسك ملخصاً خاصاً بخط يدك، فالكتابة تساعد على الحفظ والفهم. راجع الأخطاء التي تقع فيها وتعلم منها.
بالتوفيق لجميع طلاب البكالوريا 2026! 🎯📐
"النجاح ليس نهاية المطاف، والفشل ليس نهاية العالم، بل الشجاعة على المواصلة هي ما يهم"
المصدر: ملخص شامل لمحور المتتاليات العددية - رياضيات بكالوريا 2026 إعداد: فريق Madaci Educational Way
الرابط : ملخص شامل للمتتاليات العددية